Fractal
Home / ΜΟΥΣΙΚΗ / Μουσική και μαθηματικά
01/06/2016, 10:37 πμ

Μουσική και μαθηματικά

Γράφει η Βάσω Κιούση //

 

Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, φιλόσοφο, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής ο οποίος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς.

 

Ο Πυθαγόρας κατασκεύασε το μονόχορδο. Ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων.

 

mm1

 

Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) – μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά “κυβερνούν” τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.

Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (ανακάλυψε τον καθορισμό  του “κόμματος του Διδύμου”, που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).

 

mm2

 

Ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).

Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
– Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
– Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
– Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
– Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

Αυτές οι υποδιαιρέσεις προήλθαν από την πιο κάτω θεωρία:
Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο. Επειδή  προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών 1+2+3+4=10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Έτσι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).

Κι ακόμα:

Ο Αριστόξενος, (περί το 375 π.Χ.) ονομάστηκε «ο Μουσικός», φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής. Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική. Καθόρισε τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκεύασε μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου.

Ο Ευκλείδης μας δίνει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται  με ένα γράμμα.

 

mm3

 

Σήμερα, η μουσική θεωρία και η μουσική πράξη ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις.
Στην ακουστική (κλάδο της φυσικής) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται ως ο λόγος δύο συχνοτήτων.

 

  • Μοιραστείτε το άρθρο:
Ετικέτες: , ,
ΣΧΕΤΙΚΑ ΑΡΘΡΑ

Back to Top